Privacidade da Informação

Informação é poder, o que faz com que a segurança dos dados seja cada vez mais importante. Para garantir que os procedimentos para a cifra de dados são seguros, estão a ser feitas várias pesquisas na área da matemática com recurso a supercomputadores.

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A quantidade de informação confidencial que circula regularmente na Internet, que hoje impressiona as gerações anteriores, fomenta a procura de novas soluções para a proteção de dados. A troca de informação cifrada requer uma sequência chave que pode ser usada para codificar e descodificar os dados transmitidos, o que desafia os especialistas a desenvolver protocolos de criptografia que não permitam que esta chave seja descoberta por terceiros que tentem intercetar a informação. Para isto, os investigadores tem tentado identificar a solução de determinados problemas matemáticos que, quando é sabida a solução são relativamente simples de confirmar, mas difíceis ou impossíveis de resolver sem a saber.

“Todas as chaves que usamos na criptografia encaixam neste esquema” explica o professor Antoine Joux, investigador na Universidade de Versalhes, em França, que investiga o uso de ‘logaritmos discretos’. “Peguem num número inteiro x e num módulo P e calculem J para a potência x,” explica. “Isto é facil de computar, mas encontrar o x (dado o valor de J, e J para a potência x) é difícil. Encontrar x é chamado encontrar o logaritmo discreto.”

Apesar da dificuldade de encontrar o x, o progresso que tem sido feito nos últimos 20 a 30 anos no desenvolvimento de algoritmos mais eficientes levantou questões acerca da segurança dos protocolos de criptografia baseados neste tipo de logaritmos discretos, conhecidos como logaritmos de corpo finito. Devido à crescente rastreabilidade da solução destes problemas, torna-se necessária a utilização de chaves de grande dimensão para implementar estes protocolos criptográficos; isto estimulou a procura de um tipo de logaritmos discretos diferente, baseados em curvas elípticas.

“Uma curva elíptica é um objeto matemático clássico, que tem sido usado na matemática desde o século XIX”, explica o professor Joux. Os pontos nesta curva podem ser manuseados tal como números, no sentido que em que podem ser somados com outros, usando uma receita fixa que não é complicada (mas que requereu uma elevada sofisticação matemática para descobrir). Dado um ponto fixo P na curva, facilmente se descobre P, P+P, P+P+P e assim sucessivamente. O que é difícil, porém, dado um outro ponto Q na curva, é determinar quantas vezes se adicionou P a si próprio para obter Q (mesmo que seja dada a informação que Q é o resultado da adição de P a si próprio, num número finito de vezes). “Não há uma maneira fácil de fazer isto” diz o professor Joux.

Este valor a encontrar representa o logaritmo discreto de uma curva elíptica e tem sido usado na criptografia desde os meados da década de 80. De facto, devido à sua maior complexidade, estes protocolos fornecem chaves criptográficas que são agora usadas em acesso a sistemas remotos (por exemplo no SSH, um protocolo para comunicações seguras) e smart cards. Os logaritmos discretos de curvas elípticas são significativamente mais eficientes que aqueles baseados apenas em logaritmos discretos de corpos finitos: “Hoje em dia, a recomendação da maioria dos governos é para a utilização de chaves com um mínimo de 2000 bits; para curvas elípticas, a recomendação equivalente é de cerca de 256 bits.”

No entanto, algumas das investigações recentes de Joux sugerem que alguns logaritmos discretos de curvas elípticas podem ser menos difíceis de calcular do que o previsto inicialmente. Ele e Vanessa Vitse, professora assistente na Universidade de Grenoble, estão a trabalhar num tipo de curva elíptica encontrada sobre um corpo finito de P elevado a 6. Eles mostraram que, ao transformar o problema numa curva diferente, dois dos métodos descobertos anteriormente para atacar o problema podem ser combinados de forma a encontrar a solução, o que compromete claramente a sua segurança. “Mostrámos isto apenas com recurso à computação, efetuando os cálculos do logaritmo discreto para uma curva em dimensões que não deveriam ser possíveis de atingir”, diz o professor Joux. Este tipo de pesquisa é muito importante.

“Ao aplicar esta técnica na criptografia, pomos de parte caminhos que não trarão respostas”, explica. Esta técnica evita que as pessoas trabalhem para otimizar os protocolos – ao tentar descobrir o caminho criptográfico de forma mais eficiente, ou tornar o algoritmo mais pequeno – quando os protocolos não são seguros à partida. “O que queremos é eliminar os caminhos sem saída.”

A colaboração dos dois professores neste trabalho demonstra a dimensão típica das equipas nesta área de estudo. Apesar de os investigadores serem provenientes de vários países como a Alemanha, França, Reino Unido e Canadá, as colaborações internacionais são raras: “é muito mais fácil colaborar com alguém com base em ideias teóricas, muito mais do que quando lidamos com implementações da vida real,” explica o professor Joux. “Porque se quisermos programar tudo e correr numa máquina, é necessário uma equipa próxima.”

Ele também enfatiza o facto de esta área ter beneficiado com o desenvolvimento da supercomputação, onde várias máquinas trabalham em paralelo. “Podemos ter disponíveis 1000 máquinas a correr durante um dia para ver se uma ideia funciona ou não”, explica o professor Joux, “com computadores clássicos demoraria meses ou anos para confirmá-la, mas com um supercomputador temos a confirmação muito rapidamente, o que é muito útil para a investigação.” Até à data, os investigadores tiveram acesso a 750 mil horas nos supercomputadores CURIE FN e CURIE TN (ambos instalados no [email protected]) e JUGENE (instalado no [email protected]).

Atualmente, a investigação está a afastar-se das curvas elípticas e a revelar mais limitações na criptografia de logaritmos discretos de corpos finitos. “Acredito que já não são uma boa solução, a não ser que se utilizem chaves com dimensões muito grandes”, conclui, dando exemplos de chaves que tem sido resolvidas e que não mostram ser seguras: “para vos dar uma ideia, até agora o tamanho recorde é de cerca de 2000 bits.” No entanto, apenas uns dias depois da entrevista, o professor Joux anunciou que havia conseguido trabalhar num recorde de 4000 bits. Neste ramo entusiasmante e envolvente, parece que a fasquia da complexidade está constantemente a subir.

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